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[:de]Komparator mit Hysterese(Schmitt-Trigger)[:en]Comparator With Hysteresis(Schmitt-Trigger)[:]

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[:de]Manchmal braucht man einen Komparator der eine Hysterese aufweist. Dieser Schaltungsvorschlag zeigt zudem die Möglichkeit auf, ob beim Unterschreiten einer Spannungsschwelle der Ausgang positiv oder negativ sein soll, also invertierender oder nicht-invertierender Betrieb. [:en]In some cases one needs a comparator with a hysteresis. This curcuit suggestion shows further the possibility of a inverting or non-inverting operation.

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Obige Schaltung zeigt eine typische Komparatorschaltung mit Eingangsspannungsteilern. Zu sehen sind auf der linken Seite zwei Spannungsteiler. R4 und R5 teilen die Eingangsspannung V1 und bilden die Spannung V3. R6 und R7 teilen die Eingangsspannung V2 und bilden V4. Über R3 und R2 wird die Hysterese eingestellt, R1 dient lediglich der Strombegrenzung zu nachfolgenden Schaltungsteilen. Die maximale Ausgangsspannung dieser Schaltung hängt von der Versorgungsspannung des Operationsverstärkers ab. Für die weiteren Betrachtungen werden sämtliche möglichen Verluste vernachlässigt. Betrachtung eines invertierenden Schmitt-Triggers

Für die nachfolgenden Betrachtungen wird eine positive Versorgungsspannung des Operationsverstärkers von 5 Volt und eine negative Versorgungsspannung von 0 Volt angenommen(im Bild nicht dargestellt). R2 und R3 werden mit 10 kΩ angenommen. V3 wird als Referenzspannung mit 2,5 V eingestellt. V3 stellt die Referenzspannung dar, die bestimmt, wann der Komparator umschaltet. Sinkt die Spannung V4 am invertierenden(−) Eingang unter die Spannung V+, dann nimmt die Ausgangsspannung Va des OP den Wert der positiven Versorgungsspannung an. Ist die Spannung V4 am invertierenden Eingang höher, dann ist der Ausgang gleich dem Wert der negativen Versorgungsspannung. Durch R2 wird Mitkopplung erreicht. Das hat folgende Auswirkungen: 1. Fall: V4 ist höher als V+ Daraus folgt: der Ausgang des OP liegt auf Massepotential(Va=0 V). Damit ist die Spannung . V3 beträgt 2,5 V. Daraus folgt V+=2,5 V*(10/20)=1,25 V. Wenn der Komparator umschalten soll (Va=5V), muss V4 kleiner als V+ werden, also kleiner als 1,25 V. 2. Fall: V4 ist kleiner als V+ Der Ausgang liegt auf dem Niveau der positiven Versorgungsspannung(Va = 5 V). Va ist größer als V3. Der Spannungsteiler aus R2 und R3 hat zur Betriebsmasse einen Offset in Höhe der Spannung V3. Das muss in der Berechnung mit berücksichtigt werden. Die Spannung V+ errechnet sich also wie folgt:

V+=V3+((Va−V3)*R3/(R2+R3))
V+=2,5 V+((5 V−2,5 V)*(10/20))=3,75 V. Wenn V4 größer als diese Spannung wird, dann schaltet der Komparator um. Die Hysterese beträgt in diesem Fall (3,75−1,25) V=2,5 V. Der Komparator ist symmetrisch zur Spannung V3. Betrachtung eines nicht-invertierenden Schmitt-Triggers 1. Möglichkeit
Wenn man nun die Anschlüsse des Operationsverstärkers vertauscht, also V+ mit dem invertierenen(−) Eingang des Operationsverstärker und V4 mit dem nicht-invertierenden(+) Eingang verbindet, ergibt sich folgendes Verhalten:
V+ liegt jetzt am invertierenden(−) Eingang des Operationsverstärkers an.
1. Fall: V4 ist höher als V+
Daraus folgt: Die Spannung an (+) ist höher als die Spannung an (−), der Ausgang liegt deshalb auf dem Niveau der positiven Versorungsspannung(Va=+5 V). V+ berechnet sich damit wie im oberen 2. Fall: V+=3,75 V. Damit der Komparator umschaltet, muss die Spannung an (+) geringer werden als die Spannung an (−), das heißt V4 muss unter 3,75 V fallen, damit der Komparator umschaltet.
2. Fall:: V4 ist niedriger als V+ Daraus folgt: Die Spannung an (+) ist geringer als die Spannung an (−), der Ausgang liegt deshalb auf Masse(Va=0V). Damit stellt sich V+ wie im 1. Fall des Invertierenden Schmitt-Triggers ein:V+=1,25 V. Damit der Komparator umschaltet muss die Spannung an (+) größer werden als V+. Wenn V4 über 1,25 V beträgt, schaltet der Komparator um. Folgerung: Wenn man sich die beiden Forderungen für das Umschalten im 1. Fall und 2. Fall anschaut, fällt folgendes auf: Damit die Spannung Va=0 V wird, muss V4 unter 3,75 V betragen. Damit Va=5 V wird, muss V4 über 1,25 V liegen. Angenommen V4 beträgt 2,5 V.
Dann sind beide Bedingungen erfüllt. Das hat unter Umständen zur Folge, dass der Operationsverstärker ständig zwischen den beiden Zuständen 0 V und 5 V umschaltet: Wir haben einen Oszillator gebaut. Ganz offensichtlich funktioniert also dieser Ansatz nicht. Welche weiteren Möglichkeiten gibt es?
2. Möglichkeit
Komparator Mit Hysterese

Man verbindet die Referenzspannung mit dem invertierenden(−) Eingang des Operationsverstärkers und speist V3 als die zu überwachende Spannung ein. Betrachten wir also die 2. Möglichkeit und legen die originale Schaltung zu Grunde. An V4 liegen jetzt ständig 2,5 V an. An V3 wird eine variable Spannung angelegt, die sich zwischen 0 V und 5 V verändern lässt. Was passiert nun? So lange V4 größer als V+ ist, ist Va=0 V. Bei der oben angegebenen Dimensionierung der Bauteile kann man nun berechnen, wann V+ in Abhängigkeit von V3 welchen Wert annimmt. Betrachten wir also wieder die beiden möglichen Fälle. 1. Fall: V4 ist höher als V+ Va=0 V. Damit der Komparator umschaltet, muss V+ größer als V4 werden. V4 beträgt 2,5 V. V+ soll höher als 2,5 V werden. Der Spannungteiler R3/R2 liegt jetzt zwischen V3 und 0 V. R2 hat einen Wert von 10 kΩ, R3 ebenfalls. Aus dem Ohmschen Gesetz folgt: V+/R2 = V3/(R2+R3) also V3 = V+*(R2+R3)/R2 = 2,5 V*(20)/10 = 5 V. Wenn V3 über 5 V beträgt, schaltet der Komparator um. 2. Fall: V4 ist niedriger als V+ Va=5 V. Damit der Komparator umschaltet, muss V+ kleiner als V4 werden. V4=2,5 V. Der Spannungsteiler R2/R3 liegt jetzt zwischen 5 V und V3. V+ = V3 + (5 V−V3) * R3/(R2+R3) = V3 + (5 V −V3) * 0,5. Durch Umstellen der Gleichung erhält man nun V3 = 2*V+ −5 V = 2*2,5 V−5 V = 0 V. Mit der gegebenen Dimensionierung von R2 und R3 ist dieser Komparator also so nicht einsetzbar, da im 1. Fall die Spannung V3 höher als 5 V sein müsste und im 2. Fall geringer als 0 V. Das haben wir jedoch zu Beginn der Betrachtung ausgeschlossen. Folgerung: Die Widerstände R2 und R3 müssen anders dimensioniert werden. Für den 1. Fall wollen wir erreichen, dass V+ größer 2,5 V wird wenn V3 noch nicht 5 V erreicht hat. Setzen wir also fest, dass V+=2,5 V erreichen soll, wenn V3 = 4 V. Es ist nicht sinnvoll beide Widerstände zu ändern. Lassen wir also R2=10 kΩ. V3/(R2+R3)=V+/R2. Damit wird R3 = (V3/V+) * R2−R2 = (4/2,5) * 10 kΩ−10 kΩ = 6 kΩ. Für den 2. Fall ergibt sich daraus: V+ = V3 + (Va−V3) * R3/(R2+R3). Umgestellt nach V3: V3 = ((R2 * V+) − R3*(Va− V+))/R2 =((10kΩ*2,5 V)−6 kΩ*(2,5 V))/10 kΩ =(2,5 − 1,5) V =1 V. Die Rechnung zeigt, dass dieser Ansatz den gewünschten Erfolg bringt. Es ist erforderlich, dass die beiden Widerstände R2 und R3 nicht den gleichen Wert haben. R3 muss kleiner sein als R2. Die genaue Dimensionierung hängt von der gewünschten Schaltschwelle und von der gewünschten Hysterese ab.

Die Bauteile des nicht-invertierenden Schmitt-Triggers müssen anders dimensioniert werden als beim invertierenden, wenn man die gleiche Hysterese erhalten möchte.

Zum Vergleich setzen wir die Werte für R2 und R3 für den nicht-invertierenden Schmitt-Trigger in die Gleichungen für den invertierenden ein. Damit ergeben sich Schaltschwellen für V4 von 1,56 V und 3,44 V. Die Hysterese beträgt mit den zuletzt ermittelten Werten für R2 und R3 in diesem Fall 1,88 V für den invertierenden und 4 V für den nicht-invertierenden Betrieb.[:en]

The ciruit above shows a typical comparator circuit with addional input voltage dividers.
On the left side are two voltage dividers. R4 and R5 divide the input voltage V1 and generate the voltage V3. R6 and R7 divide the input voltage V2 and generate V4.
With R3 and R2 the histeresis will be set, the use of R1 is only this of a current limiter to following circuits.
The maximum output voltage of this circuit depends on the supply voltage of the OP.
For the following observations all possible losses are neglegted.
Observation of an inverting Schmitt-Trigger

For the following observations the positive supply voltage is defined to 5 Volts, the negative supply voltage is defined to 0 Volt(supply voltage not shown in the figure).
R2 and R3 are defined to 10 kΩ. V3 will be set as reference voltage to a value of 2.5 V.

V3 is the reference voltage and defines when the comparator will switch. If the voltage V4 on the inverting input (−) sinks below the voltage V+ then the output voltage Va of the OP will raise to the value of the positive supply voltage. If the voltage V4 is higher than V+ then the output voltage will be the value of the negative supply voltage.

R2 causes a positive feedback.

Lets take a look on the following cases:

1st case: V4 is higher than V+
That leads to: the ouput of the OP has ground potential. So V+ can be calculated as follows:
.
V3 is 2.5 V. Thus V+=2.5 V*(10/20)=1.25 V.
For the comparator to switch  (when Va=5V), V4 needs to be less than V+, that means less than 1.25 V.

2nd case: V4 is less than V+
The output is on the level of the positve supply voltage(Va = 5 V). Va is greater than V3. The voltage divider consisting of R2 and R3 has an offset to the ground wich is the value of V3. That needs to be considered in the calculation. The voltage V+ is calculated as follows:

V+=V3+((Va−V3)*R3/(R2+R3))

V+=2.5 V+((5 V−2.5 V)*(10/20))=3.75 V. When the value of V4 is higher than that voltage the comparator switches.
The histeresis in this case is (3.75−1.25) V=2.5 V.
The comparator is symmetric to the voltage V3.Observation of a non-inverting Schmitt-Trigger

1st possibility

If you swap the input terminals of the OP, thus connecting V+ with the inverting input (−) of the OP and V4 with the non-inverting input (+), the following behaviour occurs:
V+ is now connected to the inverting input (−) of the OP.

1st case: V4 is greater than V+

That leads to: The voltage on (+) is higher than the voltage on (−), the output has therefore the value of the positive supply voltage.(Va=+5 V). V+ is calculated as in the case 2 above: V+=3.75 V. For the comparator to switch the voltage on (+) must be lower than the voltage on (−), that means V4 must be below 3.75 V.

2nd case: V4 is less than V+

That leads to: The Voltage on (+) is lower than the voltage on (−), because of that the output is on ground level(Va=0V). The voltage  V+ is calculated as in the 1st case of the inverting Schmitt-Trigger: V+=1.25 V. For the comparator to switch the voltage on (+) must be higher than V+. If V4 is higher than 1.25 V the compatator will switch.
Conclusion:
Let’s look on the requirements for the switch in case 1 and case 2: for the ouput voltage to go low (Va=0V) V4 must be less than 3.75 V. For Va=5 V, V4 must be higher than 1.25 V.

Let’s pretend V4 is 2.5 V.
Then  both contitions are true. That may lead to a constant switching of the output of the OP between  0 V und 5 V: We have created an  oszillator.
Obviosly this approach does not work.

What additional possibilities are there?

2. possibility

Komparator Mit Hysterese

We connect the reference voltage with the inverting input (−) of the OP and connect the voltage to be monitored on V3.
Let’s take a look on that 2nd possibility and use the original circuit. On V4 is now a voltage of 2.5 V. On V3 we connect a variable voltage that can change between 0 V and 5 V.

What happens now?
As long as V4 is higher than  V+, then Va=0 V.

With the given values for the devices we can calculate what value has V+ depending on V3.

Let’s have a look on the both possible cases.

1st case: V4 is higher than V+
Va=0 V. For the comparator to switch V+ must be higher than V4 werden. V4 is 2.5 V. V+ must be higher than 2.5 V.

The voltage divider R3/R2 is now between V3 and 0 V. The value of R2 is 10 kΩ, the value of R3 too. Ohm’s Law dictates: V+/R2 = V3/(R2+R3) thus V3 = V+*(R2+R3)/R2 = 2,5 V*(20)/10 = 5 V.

If V3 is more than 5 V the comparator will switch.

2nd case: V4 is less than V+
Va=5 V. For the comparator to switch V+ must be less than V4 werden. V4=2,5 V.

The voltage divider R2/R3 is now between 5 V and V3. V+ = V3 + (5 V−V3) * R3/(R2+R3) = V3 + (5 V −V3) * 0,5.

After conversion of this equation we get V3 = 2*V+ −5 V = 2*2,5 V−5 V = 0 V.

With the given values for R2 and R3 this comparator is not usable, because in case 1 V3 needs to be higher than 5 V and in case 2 less than 0 V.

But we excluded these conditions at the start of our observations.

Conclusion:
The resistors R2 and R3 need other values.

In the 1st case we want to achieve that V+ is higher than 2.5 V when V3 is less than 5 V.

We define that V+ shall be 2.5 V when V3 = 4 V.

It makes no sense to change both resistors.

We let R2=10 kΩ. V3/(R2+R3)=V+/R2. Thus R3 = (V3/V+) * R2−R2 = (4/2,5) * 10 kΩ−10 kΩ = 6 kΩ.

For the 2nd case that leads to:

V+ = V3 + (Va−V3) * R3/(R2+R3).

Converted for V3:

V3 = ((R2 * V+) − R3*(Va− V+))/R2 =((10kΩ*2,5 V)−6 kΩ*(2,5 V))/10 kΩ =(2,5 − 1,5) V =1 V.

The calculations shows that this approach brings the desired success.

It is necessary that the resistors R2 and R3 are not of the same value.

R3 needs to be less than R2.

The exact values depend on the desired threshold and on the desired hysteresis.

The components for the non-inverting Schmitt-Trigger need other values than for the inverting if you want to achieve the same hysteresis.

For comparision we put the values of R2 and R3 for the non-inverting Schmitt-Trigger into the formulas for the inverting Schmitt-Trigger.

With that values the threshold voltages of V4 are 1.56 V and 3.44 V.
The hyteresis with these values of  R2 and R3 in this case is 1.88 V for the inverting and 4 V for the non-inverting Schmitt-Trigger.[:]

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